Câu đố cân bi như sau:
Bạn có 12 viên bi giống hệt nhau. Một viên trong số đó có trọng lượng khác các viên còn lại (nặng hơn hoặc nhẹ hơn một chút).
Bạn không thể tìm ra nó bằng cách quan sát hay ước lượng bằng tay, cũng không có dấu hiệu nào khác để tìm ra nó. Cách duy nhất để xác định viên bi khác biệt là cân chúng lên.
Nhưng bạn chỉ có một chiếc cân đĩa kiểu cũ, tức là có hai đĩa nằm đối xứng. Khi đặt vật nặng lên hai đĩa, bên nặng hạ xuống, bên nhẹ sẽ cao hơn so với vị trí thăng bằng ban đầu. Làm cách nào để phát hiện viên bi có trọng lượng khác những viên còn lại chỉ trong vòng 3 lần cân?
Đáp án câu đố như sau: Với mỗi lần cân, bạn có được thông tin về các viên bi và chia chúng thành 4 nhóm:
- Nhóm những viên không thể xác định (Unknowns).
- Những viên có trọng lượng bằng nhau (Known Neutrals).
- Nhóm những viên có viên nhẹ hơn những viên còn lại (Light Suspects).
- Nhóm những viên có viên nặng hơn những viên còn lại (Heavy Suspects).
 |
Vì số lần cân hạn chế, bạn đương nhiên không thể cân lần lượt từng viên bi. Thay vào đó, bạn chia 12 viên thành 3 phần, mỗi phần có 4 viên.
Ở lần cân thứ nhất, bạn đặt hai phần bất kỳ lên chiếc cân đĩa. Một trong 3 trường hợp sẽ xảy ra: Chiếc cân giữ thăng bằng, nó lệch sang bên trái hoặc bên phải.
Cân thăng bằng ở lần cân thứ nhất
Nếu cân vẫn thăng bằng, 8 viên bi được cân trong lần thứ nhất có trọng lượng bằng nhau (Known Neutrals). Một viên trong số 4 viên chưa được cân (Unknowns) sẽ nhẹ hoặc nặng hơn các viên còn lại.
Bạn có thể sắp xếp một vài cách cân cho lần cân thứ hai. Nhưng cách đơn giản nhất là đặt 3 trong số 4 viên Unknowns vào một đĩa cân và lấy 3 viên bất kỳ từ nhóm 8 viên Known Neutrals đặt lên đĩa còn lại.
Lần cân này vẫn xảy ra một trong 3 trường hợp, thăng bằng, lệch sang trái hoặc lệch sang phải. Nếu chiếc cân thăng bằng, viên chưa được cân chính là viên có trọng lượng khác.
Để biết nó nặng hơn hay nhẹ hơn các viên còn lại, bạn chỉ cần cân nó với một viên bất kỳ. Như vậy, ở lần cân thứ ba, bạn tìm ra câu trả lời cho câu đố.
Nếu ở lần cân thứ hai, hai đĩa cân không thăng bằng, viên bi khác biệt sẽ nằm trong số 3 viên từ nhóm Unknowns, đồng thời xác định được nó nặng hơn hay nhẹ hơn các viên còn lại (dựa trên việc cân lệch sang trái hay sang phải).
Giả sử phần đĩa cân đựng 3 viên từ nhóm Unknowns hạ xuống, chúng trở thành nhóm Heavy Suspects.
Sang lần cân thứ ba, bạn lấy hai viên trong nhóm này đặt lên hai đĩa cân. Nếu cân thăng bằng, viên chưa được cân nặng hơn các viên còn lại. Nếu không, đĩa cân bên nào thấp hơn thì viên bi trên đó nặng hơn 11 viên khác.
Nếu phần đĩa đựng 3 viên từ nhóm Known Neutrals hạ xuống, một trong số 3 viên từ nhóm Unknowns được cân ở lần thứ hai nhẹ hơn các viên còn lại. Bạn áp dụng cách cân tương tự như trường hợp nó nặng hơn để xác định viên cần tìm.
Cách cân trong trường hợp hai đĩa cân trong lần cân thứ nhất thăng bằng được minh họa như sau:
 |
Đĩa cân lệch ở lần cân thứ nhất
Nếu trong lần cân đầu (4 vs 4), một trong hai đĩa cân lệch khỏi vị trí ban đầu, bạn chia chúng thành 3 nhóm: Heavy Suspects, Light Suspects và Known Neutrals (4 viên chưa được cân sẽ có trọng lượng bằng nhau).
Sang lần cân thứ hai, bạn bạn lấy hai viên từ nhóm Light Suspects và một viên từ nhóm Heavy Suspects đặt lên một đĩa cân. Đĩa bên kia, bạn đặt hai viên từ nhóm Light Suspects và một viên từ nhóm Known Neutrals.
Nếu cân thăng bằng, viên có trọng lượng khác nằm trong 3 viên chưa cân của nhóm Heavy Suspects.
Bạn chỉ cần đặt hai viên trong số chúng lên hai đĩa cân để tìm ra viên nặng hơn (tương tự như bước 3 ở trường hợp trên).
Nếu ở lần cân thứ hai (Light-Light-Heavy vs Light-Light-Neutral), Light-Light-Neutral thấp so với vị trí ban đầu, viên bi nhẹ hơn là một trong hai viên thuộc Light Suspects nằm ở đĩa cân bên kia. Bạn chỉ cần cân hai viên này ở lần cân thứ 3 để tìm ra viên bi có trọng lượng khác các viên còn lại.
Nếu đĩa cân bên Light-Light-Heavy thấp hơn, bạn rơi vào một trong hai trường hợp: viên nhẹ hơn nằm trong hai viên Light Suspects ở đĩa cân bên kia, viên thuộc nhóm Heavy Suspects ở đĩa cân này nặng hơn.
Ở lần cân thứ ba, bạn đặt hai viên Light Suspect ở đĩa cân bên kia lên hai đĩa cân. Nếu nó thăng bằng, viên bi-a cần tìm chính là viên bi-a thuộc nhóm Heavy Suspects được cân ở lần thứ hai và nó nặng hơn các viên còn lại.
Nếu cân không thăng bằng, viên nhẹ hơn chính là viên cần tìm.
Cách cân được minh họa như sau:
 |
Ngoài cách trên, chúng ta vẫn có thể tìm ra cách cân hợp lý khác để tìm ra viên bi có trọng lượng khác các viên còn lại.
Bạn đọc có bài toán khó cần giải đáp hoặc muốn chia sẻ những phép tính hay, có thể gửi về tòa soạn theo địa chỉ email giaoduc@zing.vn.
