Sơ lược vấn đề về bài toán tuổi thuyền trưởng
Bài toán “Tuổi thuyền trưởng” được phát biểu như sau: “Trên tàu có 45 con cừu, 5 con bị rơi xuống nước. Hỏi ông thuyền trưởng bao nhiêu tuổi?”. Các bạn độc giả khắp nơi có những bình luận rất khác nhau. Trên trang Zing.vn, có người gợi ý không cần chú ý vào đơn vị mà chỉ lấy con số, như vậy tuổi thuyền trưởng là 45 - 5 = 40. Có bạn cho rằng căn cứ vào quy định cấp bằng chở gia súc để đoán tuổi của thuyền trưởng. Có độc giả còn đòi kiện cả nhà xuất bản vì đã cẩu thả trong xuất bản sách.
 |
| Bài toán về "Tuổi thuyền trưởng" đang gây tranh cãi trong cộng đồng mạng. |
Sự việc dường như đã đến gần hồi kết khi tác giả bài toán lớp 2, nhà giáo Ưu tú Phạm Đình Thực cho biết: “Cách ra đề kiểu này không phải là mới lạ với thế giới. Nếu chú ý, có thể thấy bài toán được đánh dấu (*) - tức là Toán khó nhằm mục đích nâng cao năng lực nhận thức và kỹ năng phát hiện vấn đề của học sinh, đồng thời rèn luyện kỹ năng đọc và suy nghĩ thấu đáo trước khi làm bài".
Thầy Thực lưu ý thêm, trong sách bên cạnh câu hỏi còn có phần gợi ý giải và đáp án bài này trong sách ghi rõ: “Không giải được vì đề sai”.Tuy nhiên, thầy Thực tin chắc rằng, sẽ có rất nhiều độc giả sẽ hỏi: “Tại sao trong toán học lại có kiểu ra đề kỳ lạ đến như thế? Cách ra đề đó nhằm mục đích sâu xa là gì?”. Bài viết sau đây sẽ đi lý giải cho các bạn những điều này để bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về bài toán “hóc búa” đối với nhiều người này.
Nhà toán học Euclide
Chúng ta phải quay lại thời kỳ cách đây hơn 2.000 năm để tìm hiểu về một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của nhân loại, đó là Euclide. Toàn bộ chương trình các nhà giáo dục biên soạn sách giáo khoa hình học cho các em học sinh ở nước ta đều viết về hình học Euclide.
Euclide là người đầu tiên có công xây dựng toán học thành một ngành khoa học chặt chẽ, đó là xây dựng toán học theo phương pháp tiên đề. Ông là người đầu tiên đưa ra các khái niệm cơ bản, các định đề và các tiên đề (ngày nay người ta gọi các định đề và các tiên đề với tên chung là tiên đề) trong cuốn “Nguyên lý”. Ông đã xây dựng bằng suy diễn logic một cách chặt chẽ các kết quả toán học. Đây là tác phẩm nổi tiếng nhất và được in nhiều nhất từ trước đến nay trong tất cả các loại sách về mọi lĩnh vực của nhân loại.
Tuy nhiên, về quan điểm hiện đại mà xét, tác phẩm của Euclide còn những thiếu sót.
Thứ nhất, Euclide chưa nhận ra sự tất yếu phải có các khái niệm cơ bản nên có tham vọng định nghĩa tất cả các khái niệm. Vì vậy, ông sa vào vòng luẩn quẩn, dùng những cái chưa định nghĩa để định nghĩa cái khác.
Thứ hai, Euclide có một số định đề và tiên đề là thừa. Chẳng hạn, định đề “Tất cả các góc vuông đều bằng nhau” là thừa. Đây là một định lý, tức người ta có thể chứng minh được nó.
Thứ ba, Euclide còn thiếu một số tiên đề, chẳng hạn tiên đề về liên tục, tiên đề về thứ tự các điểm trên một đường thẳng, tiên đề về dời hình.
Trải qua hàng ngàn năm, người ta đã nhận ra một vài thiếu sót của Euclide. Đến thế kỷ thứ XIX, nhà toán học Hilbert mới căn bản khắc phục được hết các thiếu sót của Euclide trong tác phẩm “Cơ sở hình học”.
Euclide là người mô tả hình ảnh thực tế của một số khái niệm mà ngày nay chúng ta thường học như là điểm trong không gian có thể xem như là hạt bụi, đường thẳng là cái có bề dài nhưng không có bề rộng... Cách làm này có ưu điểm là đưa được biểu tượng trực quan nhưng lại không mô tả được đúng bản chất toán học. Đây là yếu tố để nhiều nhà toán học đã đi sâu nghiên cứu phản bác lại quan niệm của Euclide.
Một số trong những nhà toán học đó nổi tiếng là các nhà toán học của trường phái Bourbaki.
Các nhà toán học trường phái Bourbaki
Đây là các nhà toán học nổi tiếng và rất giỏi. Người ta ước chừng có khoảng từ 10 đến 20 nhà toán học hầu hết là người Pháp. Có thể kể trong số đó là Jean Dieudonné, André Weil, Henri Cartan, Delsarte, Mandelbrot… Đây đều là những nhà toán học rất đỗi quen thuộc với giới toán học nước ta.
Nhóm Bourbaki họp một năm từ một đến hai lần ở một vùng quê hẻo lánh để làm việc chung. Có một số người cho rằng, trong phòng làm việc của Bourbaki có treo khẩu hiệu “Đả đảo Euclide”. Minh chứng cho điều này là Bourbaki xuất bản những tập sách của Bourbaki cũng lấy tên như của Euclide.
Có ý kiến nói, Bourbaki muốn làm công việc của Euclide trong thế kỷ XX. Sau khi một số tập sách được in ra, một số nước đã giảng dạy theo hệ thống Bourbaki đặt ra.
Học theo trường phái này được nhiều người trong giới toán học gọi là chương trình “Toán học mới”. Nghĩa là phương pháp dạy học toán học lấy nền tảng chính và cơ bản là lý thuyết tập hợp và logic. Kiến thức được trình bày theo kiểu hình thức chỉ quan tâm vào bản chất của toán học mà không quan tâm đến yếu tố thực tế của toán học. Giới toán học còn gọi những người theo trường phái này là những người theo “Chủ nghĩa hình thức”.
Thực ra, không phải Bourbaki là người đầu tiên sáng lập ra “Chủ nghĩa hình thức” mà người sáng lập ra chủ nghĩa hình thức là David Hilbert, người có câu nói nổi tiếng: “Bất kể lúc nào người ta cũng có thể nói về điểm, đường, mặt như là nói về cái bàn, cái ghế, và cốc bia”.
Những người nổi tiếng kế tục sau đó là Bertrand Russell: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng” và nhà toán học Frege.
Những người theo “Chủ nghĩa hình thức” cho rằng 5 đồng + 10 đồng = 15 đồng là kém toán học bởi các nhà toán học chân chính không quan tâm đến yếu tố “đồng” mà chỉ quan tâm đến “ánh xạ”: 5 + 10 = 15.
Các nhà toán học theo chủ nghĩa hình thức này muốn một định nghĩa “tinh khiết” về các con số xa rời thực tiễn của toán học. Như nhắc ở trên Frege, ông là người đầu tiên đưa ra định nghĩa “tinh khiết” của số: “2 là tập hợp các cặp đôi, 3 là tập hợp các bộ ba…”. Có nghĩa là với Frege, 2 không “tầm thường” chỉ là “2 quả cam, 2 quả táo”. 2 là cái gì đó “trừu tượng” và “hay” hơn nhiều.
Toán học “chân chính” không quan tâm tới “2 quả cam, 2 quả táo” mà quan tâm tới số 2 “tinh khiết” và “xa rời thực tế”. Khi ấy, phép toán 2 + 4 = 6 cũng không phải là “phép thêm hay bớt” như cách nghĩ “tầm thường” của nhân loại trong hàng ngàn năm trước, mà phải quan niệm đó là một “phép ánh xạ”...
Tuy nhiên Frege đã sai lầm và những người học theo chương trình “Toán học mới” đã sai lầm.
Một ngày gần cuối năm 1992, bài viết của Stella Baruk trên báo L’express đã giáng một đòn chí tử vào chương trình giảng dạy theo hệ thống Bourbaki. Baruk cho biết: “Theo sáng kiến của Viện nghiên cứu giảng dạy toán học (Institut de Recherche sur l’Enseignement Mathématique) ở Grenoble, bài toán sau đây đã được đặt ra với 97 học sinh lớp 1 và lớp 2: 'Trên một con thuyền, có 26 con cừu và 10 con dê. Hỏi tuổi của vị thuyền trưởng là bao nhiêu?'. Trong 97 học sinh, có 76 em đã sử dụng luôn những con số đã cho trong đầu bài để trả lời: 26 tuổi hoặc 10 tuổi.
Thực tế là học trò đã trả lời các bài toán bằng cách cộng số tiền francs với số lít hoặc cộng số người với số quả táo. Sau một vài tháng ở nhà trường, các em đã từ bỏ ý nghĩa thực tế của các con số và cho rằng không cần hiểu ý nghĩa của chúng”.
Trên báo này, Baruk còn cho biết thêm có em trả lời tuổi của vị thuyền trưởng là 36, bằng cách áp dụng ngay những gì đã được dạy, đó là thực hiện phép tính mà không cần để ý đến ý nghĩa thực tế: 26 + 10 = 36.
Theo bài viết, số tuổi của vị thuyền trưởng này được tính theo ba đáp án. Một là 26 con cừu là 26 tuổi. Hai là 10 con dê là 10 tuổi. Ba là 26 con cừu + 10 con dê = 36 tuổi. Rõ ràng đây đều là những kết quả gây bất ngờ với mọi người và có thể nói là rất chua cay về mặt giáo dục. Chính vì thế, hệ thống “Toán học mới” ngày nay đã bị loại bỏ hoàn toàn khỏi mọi chương trình giáo dục trên toàn thế giới.
Một số điều ngoài lề thú vị cần nói
Chúng ta thường hay nói trong đời thường là: “Anh đó nói chính xác như toán học", hàm ý rằng, anh ấy nói có lập luận chính xác. Điều anh ấy nói hoặc là đúng, hoặc là sai, không bao giờ vừa đúng vừa sai.
Bertrand Russell ở trên từng nói: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”.
Thế nhưng những điều này liệu có hoàn toàn đúng hay không? Cách nói thông thường của nhiều người liệu có chính xác? Câu trả lời là không. Chẳng hạn, hãy xét Giả thuyết Continuum (Giả thuyết do Georg Cantor nêu lên năm 1877, nói rằng không tồn tại một tập hợp nào có lực lượng nằm giữa tập số nguyên và tập số thực). Godel và Cohen đã chứng minh, dựa trên các tiên đề về tập hợp trong toán học, giả thuyết này không thể chứng minh và cũng không thể bác bỏ. Nghĩa là toán học có những giả thuyết mà ta không biết là nó đúng hay sai. Đây là điều mà rất nhiều người sẽ vô cùng ngạc nhiên và lấy làm thích thú.
Ở bậc phổ thông, các thầy cô giáo và các em rất thích “Phương pháp giải toán”. Vì thế, nhiều cuốn sách viết về phương pháp giải toán tràn ngập. Từ cấp I cho đến cấp III, đâu đâu cũng tràn ngập sách về phương pháp giải làm cho nhiều người tưởng, mọi bài toán đều có phương pháp giải của nó. Tuy nhiên, nét đẹp toán học lại nằm ở chỗ này. Một nhà toán học Nga đã chứng minh, có những bài toán không có thuật toán để giải. Qua đó, ta thấy sự phong phú của toán học mang lại. Vì vậy, trong một số sách ở bậc phổ thông, người ta thường ra các đề toán với tiêu đề “Các bài toán không mẫu mực” hàm ý là không có phương pháp giải chung.
Kết luận
Sau hơn 2.000 năm, đã có một số người muốn xây dựng lại một chương trình toán học mới thay thế cho chương trình giáo dục Euclide, nhưng kết quả nhận được lại là một thảm họa về mặt giáo dục. Học sinh xa rời thực tế và có những phép toán ngờ nghệch đến vậy.
Những nhà toán học quên mất một điều, “lăng kính” của trẻ em hoàn toàn khác với “lăng kính” của người lớn. Không phải kiến thức toán học chặt chẽ nào cũng có thể đưa ngay cho học sinh học được mà phải trải qua quá trình “mềm hóa” kiến thức.
Trong giáo dục, chúng ta sử dụng rất nhiều cách làm này. Ở bậc toán học cao hơn chúng ta có thể hiểu rất rõ “điểm”, “đường thẳng” bản chất là gì nhưng ở bậc học thấp, chúng ta cũng không thể nào không sử dụng đến cách mô tả của Euclide. Vẫn “điểm” trong không gian như là hạt bụi, “đường thẳng” có bề dài không có bề rộng... mặc dù bề dài là gì, bề rộng là gì thì không được giải thích nhưng học sinh vẫn hình thành được biểu tượng trực quan, cho phép học sinh nắm bắt và dễ dàng hình thành kiến thức cũng như tư duy cho chính học sinh hơn.
Vẫn còn đó boăn khoăn
Tôi có một anh bạn có con đang học lớp 2 ở TP.HCM, anh bạn tôi sau khi được đọc bài toán về “tuổi thuyền trưởng” trên mạng liền lấy đề này ra cho con. Con của anh cũng hồn nhiên cho ra đáp án: 26 con cừu + 10 con dê = 36 tuổi.
Vậy một câu hỏi được đặt ra, liệu nếu chúng ta đem bài này ra cho các em học sinh lớp 1, 2 để khảo sát thực nghiệm, liệu chúng ta có kết quả như chương trình “Toán học mới” hay không? Nếu kết quả mà xảy ra như trên, điều này sẽ nói lên điều gì? Chương trình giáo dục ở bậc tiểu học của chúng ta có gì thiếu sót không nếu kết quả thực nghiệm không như ý, dù chúng ta không học theo chương trình “Toán học mới”? Hy vọng rất được các bạn và các nhà giáo dục chia sẻ về vấn đề này.
