Theo IFL Science, câu đố hóc búa hàng nghìn năm được nhà toán học Thomas Bloom giải mã và đăng trên trang cá nhân của mình. Trước đó, phiên bản khác của bài toán này cũng được hai nhà toán học Erdős và Graham đặt ra và trao thưởng 500 USD cho ai giải được nó.
Đề bài được đưa ra như sau: Cho trước tập hợp các số nguyên dương, hỏi từ tập hợp này, có thể chọn ra những phần tử có tổng nghịch đảo bằng 1 được không? Hiểu đơn giản ví dụ chúng ta có tập {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Yêu cầu đưa ra là bạn có thể lấy ra các số với tổng bằng 1 không.
Trong khi đó, bài toán biến tấu của Erdős – Graham là: Nếu tập A là tập con của tập N và A có mật độ dương, có tồn tại một tập con hữu hạn S của A mà tổng nghịch đảo các phần tử của nó bằng 1 không? Ví dụ với tập con của N có mật độ dương là A = {3,5,7,9,11...}, chúng ta có thể lấy một lượng đủ lớn các số tự nhiên liên tiếp mà xác suất để tồn tại một số thuộc vào A là khác 0 hay không.
 |
| Bài toán hóc búa được cho là không thể tìm ra lời giải. Ảnh: ILFS. |
Câu hỏi nghe có vẻ đơn giản nhưng được một số nhà toán học cho rằng vấn đề này “hóc búa nhất từ trước đến nay”.
Nhà toán học Andrew Granville, Đại học Montreal, Pháp, trả lời tạp chí Quanta: “Tôi nghĩ đây là bài toán bất khả thi mà không ai có thể giải được. Tôi không thấy bất kỳ công cụ rõ ràng nào để có thể giải quyết nó”. Song, ông Bloom tình cờ tìm được đáp án trong bài báo cách đây 20 năm, in ở sách Biên sử Toán học năm 2003 của nhà toán học Ernie Croot.
Những gì ông Croot giải ra được gọi là “phiên bản tô màu” của bài toán Erdős – Graham. Bởi nó liên quan các tập con “tô màu”, tương tự việc phân chia tập A bằng cách loại bỏ các phần tử của A vào một số hữu hạn các hộp có màu khác nhau.
Sau đó, ông Bloom đã vận dụng những ý tưởng của Croot và giải trọn vẹn bài toán hóc búa. Ông cho rằng Croot đã chứng minh được trường hợp đặc biệt của bài toán này. “Phương pháp của Croot thực sự phi thường, ông ấy xứng đáng nhận được 99% công lao. Tất cả những gì tôi làm là đẩy thêm một chút vào cánh cửa mà ông ấy đã mở ra”, nhà toán học khiêm tốn nói.
Ý tưởng của ông Bloom là thay vì tìm các số có tổng nghịch đảo bằng 1, ta tìm các số có tổng nhỏ hơn, sau đó cộng bằng 1. “Ví dụ ta tìm được nhóm mà tổng nghịch đảo bằng 1/3 theo các cách khác nhau, chỉ cần cộng lại, chúng ta có kết quả là 1”, ông Bloom nói với tờ Quanta.
 |
| Cách giải bài toán hóc búa của nhà toán học Thomas Bloom. Ảnh: IFLS. |
Với cách làm tưởng chừng như không thể đơn giản hơn, nhà toán học đã giải quyết được câu hỏi có nguồn gốc cách đây 3.500 năm. Tuy nhiên, ông vẫn đặt ra câu hỏi mới và tiếp tục đi tìm câu trả lời: Với tập A ⊂ N nào, chúng ta không thể tìm được tập con của A có tổng nghịch đảo các phần tử bằng 1?
